Distribución Normal

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.

Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N(μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

Distribución normal estándar N(0,1)

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

Tipificación de la variable

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).

Cálculo de probabilidades en distribuciones normales

La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variable tipificada.

Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ(k).

• Φ(k) = P(z ≤ k)

Búsqueda en la tabla de valor de k

• Unidades y décimas en la columna de la izquierda.
• Centésimas en la fila de arriba.

P(Z ≤ a)

P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)

P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)

P(Z > −a) = P(Z ≤ a)

P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)

P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )

P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]

 Fuente:

Vitutor, S. (11 de 07 de 2010). Vitutor. Obtenido de http://www.vitutor.net/1/55.html

Wikipedia. (4 de 11 de 2014). Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal

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• Mario Alonso Ramirez Ruiz
• Juan Bosco Pimentel

Distribución Ji-Cuadrada (X2)

La distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.

Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza , el estadístico:

Tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X² (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada está dado por:

Donde n es el tamaño de la muestra, s² la varianza muestral yla varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada

1. Los valores de X² son mayores o iguales que 0.
2. La forma de una distribución X² depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X².
3. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.
4. Las distribuciones X² no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.
5. Cuando n>2, la media de una distribución X² es n-1 y la varianza es 2(n-1).
6. El valor modal de una distribución X² se da en el valor (n-3).

Ejemplos:

1. Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.

Solución: Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s²=2 como sigue:

 El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s²>2)

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Distribución T de Student

La distribución t de Student se utiliza cuando nos encontramos con la dificultad de no conocer la desviación típica poblacional y nuestra muestra es menor de 30. Es similar a la curva normal, pero la distribución t tiene mayor área a los extremos y menos en el centro.

Sus funciones se basan en establecer un intervalo de confianza, utilizando un nivel de confianza y los grados de libertad, obteniendo valores de una tabla dada con respecto a estas variables y aplicarla en la formula.

Cuando las muestras son pequeñas y cuando la distribución de donde proviene la muestra tenga un comportamiento normal. Esta es una condición para utilizar las tres distribuciones que se manejarán en esta unidad; t de student, ji-cuadrada y Fisher.

¿Cuándo nos sirve la distribución T de Student?

• ·         Para determinar el intervalo de confianza dentro del cual se puede estimar la media de una población a partir de muestras pequeña (n < 30).
• ·         Para probar hipótesis cuando una investigación se basa en muestreo pequeño.
• ·         Para probar si dos muestras provienen de una misma población.

La distribución-t o distribución t de Student es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Para definir grados de libertad se hará referencia a la varianza maestral:

Una variable aleatoria se distribuye según el modelo de probabilidad t o T de Student con k grados de libertad, donde k es un entero positivo, si su función de densidad es la siguiente:

La gráfica de esta función de densidad es simétrica, respecto del eje de ordenadas, con independencia del valor de k, y de forma algo semejante a la de una distribución normal:

Su valor medio y varianza son:

Formula t de Student.

Se aplica una prueba de autoestima a 25 personas quienes obtienen una calificación promedio de 62.1 con una desviación estándar de 5.83 Se sabe que el valor correcto de la prueba debe ser mayor a 60. ¿Existe suficiente evidencia para comprobar que no hay problemas de autoestima en el grupo seleccionado?

Considera un nivel de significancia de 0.05

Evidencia Muestral:

Aplicando la Distribución de Probabilidad

Calculando t*:

Buscando en la tabla de Distribución de t de Student, encuentras el valor del área:

Bibliografía

Facultad de Educacion - (23 de Noviembre de 2013). Slide Share. Obtenido de http://es.slideshare.net/torimatcordova/distribucion-t-de-student-28545004

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